Sistemas de Numeração 1 - Sistemas de Numeração Posicionais

Um sistema de numeração posicional é aquele onde o valor atribuído a cada símbolo usado na representação dos números depende da posição que ele ocupa na representação. O exemplo trivial é o sistema de numeração que estamos acostumados a utilizar no dia a dia: o sistema decimal (porque a base do sistema é 10) ou indo-arábico (por causa da origem dos símbolos - algarismos - utilizados). Considere a representação decimal 56782. O algarismo 2 vale exatamente o seu valor intrínseco, porque está posicionado na ordem de grndeza das unidades. Já o algarismo 8 tem valor posicional 80, por ocupar a ordem de grandeza das dezenas. E assim por diante com os demais algarismos.

O interessante é que esta idéia pode ser generalizada. Para entender isto primeiro precisamos provar um teorema, que poderíamos chamar de teorema geral da enumeração (TGE). Vou apresentar aqui apenas a versão da demonstração para números naturais (porque é só o que interessa para o caso dos sistemas de computação). Mas é fácil estender a prova para os números reais (sugiro que vocês tentem).

A prova que vou apresentar depende da definição da operação de divisão no conjunto dos naturais.

Para efeito de generalidade vamos supor que x seja muito maior que b. Então podemos fazer a seguinte série de divisões:

Substituindo a última expressão obtida para o quociente na penúltima, e assim por diante até voltar à primeira expressão obtida para o quociente temos:

A última expressão encontrada satisfaz às características do polinômio desejado, porque todos os coeficientes que correspondem a restos das divisões efetuadas tem valores naturais no intervalo [0,b), e o último quociente, por construção, também é um número natural no intervalo [0,b), o que prova a existência do polinômio desejado.

Para a prova da unicidade deste polinômio suponhamos que exista um outro polinômio tal que:

Os dois polinômios serão diferentes se houver pelo menos um dos coeficientes de mesma ordem de grandeza em b com valores diferentes. Então, subtraindo um polinômio do outro temos

Mas isto só é possível se todos os coeficientes dos dois polinômios forem iguais. Se quiser alongar ainda mais a prova, suponha também que o novo polinômio possa ter grau superior ao que já foi encontrado (porque menor não pode ser). Não mudaria nada o resultado. Ao subtrair um do outro fica evidente que os eventuais coeficientes dos termos de ordem superior a n também teriam que ser zero, o que prova a unicidade do polinômio encontrado.

Muito bem. E como fazemos uso deste teorema para construir todos os sistemas de numeração posicionais? Da seguinte forma: primeiro escolhemos o valor b para a base do nosso sistema; depois escolhemos um conjunto com b símbolos diferentes (não importa quais, pode ser quadradinho, estrelinha, etc.) para representar, respectivamente, as quantidades 0, 1, ... , b - 1 e são chamados de algarismos; a partir daí qualquer número natural é representado pela sequência de algarismos cujos valores correspondem aos coeficientes do polinômio de potências de b que é igual ao número a representar, com o algarismo mais à esquerda correspondendo ao coeficiente do termo de mais alta ordem do polinômio, e o algarismo mais à direita ao termo independente do polinômio.

Como o TGE garante que para qulquer valor da base escolhida existe um e somente um polinômio que satisfaz as suas regras (e no qual baseia-se o sistema de numeração daquela base), a consequência lógica é que todos os sistemaas de numeração são equivalentes. E isto nos traz duas perguntas (que responderei depois, em outros artigos):

• Dada a representação de um número em um sistema de numeração qualquer, como obter a sua representação equivalente em um outro sistema?
• Como generalizar os procedimentos da aritmética para que eles sejam válidos para qualquer sistema de numeração?

Os sistemas de numeração que nos interessam diretamente, além do decimal, claro, são o sistema binário (base 2) e o sistema hexadecimal (base 16). Por uma questão de familiaridade, sempre que possível usamos como algarismos os mesmos do sistema indo-arábico, com os mesmos valores intrínsecos. Então os algarismos do sistema binário são 0 e 1; e os algarismos do sistema hexadecimal são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, A (representando o valor decimal 10), B (representando o valor decimal 11), C (representando o valor decimal 12), D (representando o valor decimal 13), E (representando o valor decimal 14) e F (representando o valor decimal 15),

No próximo artigo desta série vou responder à primeira das perguntas que deixei pendentes.